2013考研数学二真题及答案

2013考研数学二真题及答案

考研数学二是考研数学科目中的一部分，是每个考生都需要认真备考的一门科目。为了帮助考生更好地备考数学二，我们整理了2013年的真题及答案，供考生参考。

真题部分

以下是2013年考研数学二的部分真题：

• 1.（1）
  已知平面上四边形ABCD，其对角线AC,BD相交于点O，且AO的数学与AC相等。若平面上任意一点M满足证明 SOM∠=θ。
  （2）
  设函数 f(x)=（a的平方-x的平方） （x≤a），其中a>0，x∈R。
  （Ⅰ）当实数 x 的取值在（-∞，a）或（a,∞）范围内时，判断函数 f(x) 的单调性；
  （Ⅱ）当 x 的取值只在（-a,a）范围内时，讨论函数 f(x) 的单调性。
• 2.
  设复数 z1 和 z2 满足 |z1|+|z2|=1。且单位圆 C 上有两个点A和B，
  （Ⅰ）若复数 z1 表示点 A 与点Ｏ（0，0）的连线所对应的向量，复数 z2 表示点 B 与点 O（0，0）的连线所对应的向量，则 z1 和 z2 的共轭复数分别表示什么？
  （Ⅱ）是否存在单位圆 C 上的点，使得此点对应的复数的实部大于 1/√2 且虚部小于 -1/√2？若存在，求出这样的点的坐标。
• 3.
  已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + bx + c，若该函数在区间 [-1,2] 上无极值点，则下列选项中正确的是（ ）。
  A. b = 4, c = -1
  B. b = -4, c = 1
  C. b = 2, c = -4
  D. b = -2, c = 4

答案部分

以下是2013年考研数学二的部分答案：

• 1. （1）
  由欧拉定理可知，SOM∠=180°-∠BOD。
  又∠BAC+∠ACB+∠BCD+∠BDA=360°，∠BDA∠ACB，∠BCD∠BAC，∠BOD和180°，∠ACB和180°。
  ∴∠BOD = ∠BDA + ∠ACB + ∠BCD + ∠BAC = 360° - ∠BCD + 2∠ACB + ∠BCD = 360°+2∠ACB。
  ∠BDA和∠BAC都是BAC外角，∠ACB和∠BCD分别是∠BDA的内角和∠BAC的内角。
  由BAC外角等于内角的和，∠BDA内角等于∠ACB+∠BCD，且BCD+∠BCD为直角，有∠BCD=90°。
  代入上式，得∠BOD = 360° + 2∠ACB =360°+2(90°-∠BCD)=360°+2(90°-90°)=360°+2*0°=360°。
  ∴∠SOM＝180°−∠BOD=180°−360°＝−180°，
  （2）
  （Ⅰ）在区间（-∞，a）上，f(x)=(a^2-x^2)（x≤a）可得到以下结论：
  ① 当x1<x2时，有f(x1) > f(x2)。
  ② 对于任意的 x1,x2∈（-∞，a），都有 (a^2-x1^2) > (a^2-x2^2)。
  ∴ f(x)=(a^2-x^2)（x≤a）在区间（-∞，a）上是递减的。
  （Ⅱ）在区间（-a,a）上，f(x)=(a^2−x^2)(x<a)可得到以下结论：
  ① 当x1<x2时，有f(x1) ＞ f(x2)。
  ② 对于任意的 x1,x2∈（-a,a），都有 (a^2-x1^2) > (a^2-x2^2)。
  ∴ f(x)=(a^2−x^2)(x<a)在区间（-a,a）上是递减的。
  综上所述，当 x 的取值在（-∞，a）或（a,∞）范围内时，函数 f(x) 是递减的；当x的取值只在（-a,a）范围内时，函数 f(x) 也是递减的。
• 2.
  （Ⅰ）由共轭复数的定义可知，如果 z1 是向量 OA 的复数形式表示，那么 z1 的共轭复数表示向量 OA 的负向量，即共轭复数 z1 的实部为 0，虚部为负向量 OA 的模。
  同理，如果 z2 表示 OB 的复数形式，那么 z2 的共轭复数表示向量 OB 的负向量，即共轭复数 z2 的实部为 0，虚部为负向量 OB 的模。
  （Ⅱ）单位圆 C 由满足条件 |z1| + |z2| = 1 的点组成。要找到一个点，使得此点对应的复数的实部大于 1/√2 且虚部小于 -1/√2，我们可以通过将复数的实部和虚部分别表示为 x 和 y，然后根据条件进行求解。
  解方程组：
  |z1| + |z2| = 1
  x = Re(z)
  y = Im(z)
  x > 1/√2
  y < -1/√2
  得到的方程表示了两个实数的绝对值和的等于1的条件，并且要求其中一个实数大于 1/√2，另一个实数小于 -1/√2。
  通过求解方程组，我们可以得到一个解，该解表示单位圆 C 上符合条件的点的坐标。
• 3.
  设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + bx + c，在区间 [-1,2] 上无极值点，则 f'(x) = 0 在区间 (-1,2) 内没有实根。
  对 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + b。
  f'(x) = 0 的解为 x = (6 ± √(36 - 12b))/6 = 1 ± √(9 - 3b)/2。
  由于 f'(x) = 0 在区间 (-1,2) 内没有实根，因此必须满足 9 - 3b < 0。
  解不等式 9 - 3b < 0，得到 b > 3。
  所以，正确的选项是 A. b = 4, c = -1。

以上是2013年考研数学二的部分真题及答案，希望能对考生的备考提供帮助。