2016全国乙卷数学解析

2016全国乙卷数学解析

作为一名数学爱好者，解析一份高中考试试卷既是一种乐趣，也是对自己学习成果的一种检验。今天我将为大家解析2016年全国乙卷数学试卷，带领大家一起探索其中蕴含的数学智慧。

一、选择题部分

选择题部分是考试中最基础的部分，也是对学生基本知识掌握程度的考察。2016全国乙卷数学试卷的选择题部分分为A、B两个小题。在解答这部分题目时，我们要注重对题目的理解和分析。

1. 题目解析

首先，让我们来看看第一题：

已知函数$f(x)=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}$，则$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$等于（　　）

这是一道极限题，要求我们计算函数$f(x)$当$x$趋于正无穷时的极限。要解答这道题，我们需要先将函数$f(x)$进行分析。通过观察可以发现，当$x$趋于正无穷时，$\sqrt{x^2+1}$的值趋于无穷，而$x^3$的值也趋于无穷。因此，我们可以推测$f(x)$在$x$趋于正无穷时的极限应该是无穷。

2. 解决方法

为了进一步验证我们的推测，我们可以使用极限的定义进行计算。根据极限的定义，我们要证明对于任意正数$M$，存在正数$N$，使得当$x>N$时，$f(x)>M$。

我们将$f(x)>M$进行等价变形：

$\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}>M$

两边同乘以$\sqrt{x^2+1}$得：

$x^3>M\sqrt{x^2+1}$

再两边同时开立方得：

$x>\sqrt[3]{M\sqrt{x^2+1}}$

从而可以确定取$N=\sqrt[3]{M}$即可满足上述不等式。

因此，根据极限的定义，我们可以得出结论：当$x$趋于正无穷时，$f(x)$的极限为正无穷。

二、填空题部分

填空题部分是考察学生运算能力和思维灵活性的重要环节，对于这部分题目，我们要注意题目中的条件和要求，运用恰当的数学方法进行解答。

1. 题目解析

接下来，让我们来看一个填空题的例子：

已知$a^3+\dfrac{1}{b}=3$，$b^3+\dfrac{1}{c}=6$，$c^3+\dfrac{1}{a}=2$，则$a^3+b^3+c^3$的值是____。

这是一个关于方程组的问题，我们要找到适当的方法解决这个问题。

2. 解决方法

我们观察到，每个方程都是关于三个变量$a$、$b$、$c$的，而我们又要求解$a^3+b^3+c^3$的值。所以，我们可以考虑将这三个方程相加，得到一个新的方程。

将三个方程相加得：

$a^3+b^3+c^3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=11$

由已知条件可得：

$a^3+\dfrac{1}{b}=3$

$b^3+\dfrac{1}{c}=6$

$c^3+\dfrac{1}{a}=2$

将上述方程代入新方程中可得：

$3+6+2+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=11$

即：

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=11-11=0$

因此，$a^3+b^3+c^3$的值为：

$3+6+2=11$

所以，$a^3+b^3+c^3$的值为11。

通过以上解析，我们可以看出，在解答填空题时，我们需要结合已知条件，灵活运用数学方法，才能得出准确答案。

三、解答题部分

解答题部分是考察学生综合运用知识的能力，要求学生能够全面、准确地解答问题，并对解题过程进行合理的论证和解释。

1. 题目解析

最后，让我们来看一道解答题的例子：

已知函数$f(x)=\sqrt[3]{x^3+3}$，求函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上的最大最小值。

这是一个求函数在给定区间上最大最小值的问题，我们需要运用导数的相关知识进行解答。

2. 解决方法

首先，我们计算函数$f(x)$的导数：

$f'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\sqrt[3]{x^3+3}\right)=\dfrac{1}{3}(x^3+3)^{-\frac{2}{3}}\cdot\dfrac{d}{dx}(x^3+3)$

计算$\dfrac{d}{dx}(x^3+3)$可得：

$\dfrac{d}{dx}(x^3+3)=3x^2$

将该结果带入导数公式中，得：

$f'(x)=\dfrac{1}{3}(x^3+3)^{-\frac{2}{3}}\cdot3x^2$

化简得：

$f'(x)=x^2(x^3+3)^{-\frac{2}{3}}$

我们知道，函数在给定区间内的最大最小值出现在导数为零的点或者导数不存在的点。

要求$f(x)$在区间$[-1,1]$上的最大最小值，我们需要先找到$f'(x)$为零或不存在的点。

解方程$f'(x)=0$可得：

$x^2(x^3+3)^{-\frac{2}{3}}=0$

由此方程可得：

$x=0$

所以，$f(x)$在$x=0$处取得极值。

接下来，我们需要判断$f(x)$在区间的端点上的取值。

将$x=-1$代入$f(x)$可得：

$f(-1)=\sqrt[3]{(-1)^3+3}=\sqrt[3]{2}$

将$x=1$代入$f(x)$可得：

$f(1)=\sqrt[3]{1^3+3}=\sqrt[3]{4}$

经过计算，我们可以得出结论：函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上的最大值为$\sqrt[3]{4}$，最小值为$\sqrt[3]{2}$。

总结：

通过对2016年全国乙卷数学试卷的解析，我们不仅巩固了基础知识，还学习到了灵活运用知识解决问题的方法。数学是一个需要探索和思考的学科，只有不断实践和思考，才能真正掌握其中的奥秘。希望通过今天的解析，能够帮助大家更好地理解和运用数学知识，取得优异的成绩。

谢谢大家！