2009考研数学一

2009考研数学一真题详解与解析

数学一作为考研数学科目中的重要一部分，对于考生来说是一个不可忽视的挑战。为了帮助考生更好地应对这项考试，本文将对2009年的考研数学一真题进行详解和解析，希望能为考生们提供一定的参考和指导。

一、选择题部分

这部分的题目旨在考察考生们的基础知识和分析能力。以下是几道典型选择题的解析：

1. 题目：设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=1，f(1)=0，且对x∈(0,1)，有f′(x)＜0。则方程f(x)=0在区间[0,1]上有几个实根？

   解析：根据题目中的条件，我们可以得出函数f(x)在区间[0,1]上是递减的，且f(0)和f(1)分别为正数和零。根据零点定理，当f(x)在区间[0,1]上是连续的时候，必然存在至少一个实根。因此，答案为至少一个实根。

2. 题目：设a1，a2，...，an是等差数列，其中a1，a2，a3分别为第一项、第二项、第三项，且满足a11+a12+⋯+a1n=a21+a22+⋯+a2n，若a1+a2+...+an=160且n≥10，则a11+a12+⋯+a1n的值为多少？

   解析：根据题意，我们可以得出等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。由于a1+a2+...+an=160，且n≥10，因此可得n(a1+an)/2=160，进一步化简可得a1+an=32。又根据等差数列的性质可知，a11+a12+⋯+a1n=n(a1+an)/2。将已知条件带入可得a11+a12+⋯+a1n=160/2⋅10=800。因此，a11+a12+⋯+a1n的值为800。

二、解答题部分

解答题是考察考生们的解题能力和解决实际问题的能力，以下是几道典型解答题的解析：

1. 题目：已知复数z=1+i，求复数z^5的实部和虚部。

   解析：我们可以将复数z表示为z=a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部。根据复数乘法的定义可得z^5=(1+i)^5=(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)。按照复数乘法的法则展开，我们可以得到z^5=(-4+4i)。因此，z^5的实部为-4，虚部为4i。

2. 题目：若f(x)在区间[1,2]上连续，且f(1)=f(2)，证明方程f(x)=f(x+1)在区间(1,2)内至少有一个实根。

   解析：根据题目条件可知，函数f(x)在闭区间[1,2]上满足f(1)=f(2)，那么根据连续函数的介值定理可知，在开区间(1,2)内也存在一个点c，使得f(c)等于f(1)=f(2)。因此，方程f(x)=f(x+1)在区间(1,2)内至少有一个实根。

三、总结

通过对2009年考研数学一真题的详解和解析，我们可以看出，这项考试主要考察考生们的基础知识掌握程度和解题能力。对于选择题部分，要注意理解题意，灵活运用所学的数学知识和分析能力进行推理和解答。对于解答题部分，要善于应用所学的数学知识解决实际问题，并能够合理地进行推导和证明。

希望通过本文的解析和总结，能够帮助考生们更好地准备和应对2009年考研数学一的考试。祝愿所有考生都能取得优异的成绩！