2014考研数学农真题
考研数学是许多考生的噩梦，但是只要我们努力准备、掌握好考点，就能够在考试中取得好成绩。为了帮助大家更好地备考，本文将为大家详细解析2014年考研数学农真题，希望能够对大家有所帮助。
第一节（共5小题，每小题4分，满分20分）
1. 设函数f(x) = ⌈x^2 - 3x + 2⌉，其中⌈x⌉表示不大于x的最大整数。则方程f(f(f(x)))) = 0的根的个数是多少？
解析：首先，我们需要确定方程的根在什么范围内才有意义。根据题意可知，f(x)是一个取整函数，所以f(f(f(x)))) = 0 的根只可能取整数值。我们对f(x)进行分析，可以发现f(x)在x = 0,1,2,3,4等整数处发生跳变，且f(x)在x = 1和x = 2附近的取整值为0。根据这一特点，我们可以得出结论，f(f(f(x)))) = 0 的根只可能在x = 1和x = 2附近。因此，方程的根的个数为2。
2. 已知函数f(x) = (n!)^2 / [(2n+1)!], 其中n为正整数，则limn→∞f(x)的值为多少？
解析：首先，我们对f(x)进行化简。根据题意可知，n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。所以，(n!)^2 = (n * (n-1) * (n-2) * ... * 1)^2 = n^2 * (n-1)^2 * (n-2)^2 * ... * 1^2。同理，(2n+1)! = (2n+1) * (2n) * (2n-1) * ... * 1。所以，f(x) = (n!)^2 / [(2n+1)!] = (n^2 * (n-1)^2 * (n-2)^2 * ... * 1^2) / [(2n+1) * (2n) * (2n-1) * ... * 1]。
当n趋向于无穷大时，可以近似看作n * n / (2n * 2n) = 1 / 4。所以，limn→∞f(x)的值为1/4。
3. 已知函数f(x) = x(1 - 1/x)^x，其中x > 0。则f(x)最大的值是多少？
解析：首先，我们要确定f(x)的定义域和值域。根据题意可知，x > 0。由于1 - 1/x的值域为(0,1)，所以(1 - 1/x)^x的值域为(0,1)。因此，f(x)的定义域为(0,+∞)。那么，我们需要找出在这个定义域内，f(x)的最大值。
为了求解f(x)的最大值，我们可以对f(x)进行求导。首先，对f(x) = x(1 - 1/x)^x两边同时取对数，得到lnf(x) = ln(x(1 - 1/x)^x)。再对lnf(x)进行求导，得到(lnf(x))' = [(x * (1 - 1/x)^x)' / (x * (1 - 1/x)^x)] * x = [(1 - 1/x)^x * (1 - 1/x - ln(1 - 1/x))) / ((1 - 1/x)^x)] * x = (1 - 1/x - ln(1 - 1/x)) * x。要使(lnf(x))' = 0，可得1 - 1/x = ln(1 - 1/x)。解得x = 1/2。
为了确定这个临界点是最大值还是最小值，我们可以进行二阶导数判定。对(1 - 1/x - ln(1 - 1/x)) * x进行求导，得到[(1 - 1/x - ln(1 - 1/x)) * x]' = -1/(x^2 * (1 - 1/x))。当x > 1时，(1 - 1/x) > 0，所以二阶导数小于0，即x = 1/2是f(x)的最大值点。
将x = 1/2代入f(x) = x(1 - 1/x)^x，可得f(x)最大的值为(1/2 * (1 - 1/(1/2)))^(1/2) = (1/2 * (2/3))^(1/2) = (1/3)^(1/2) = 1/√3。
4. 已知函数f(x) = a^(loga(x)+1) + b^(logb(x)+1)，其中a，b为大于1的实数，则f(1)的值是多少？
解析：要求f(1)的值，我们需要将x = 1代入f(x)进行计算。根据对数的定义可知，loga(1) = 0，而a的0次方等于1。所以，a^(loga(1)+1) = a^1 = a。同理，b^(logb(1)+1) = b^1 = b。将a和b代入f(x) = a^(loga(x)+1) + b^(logb(x)+1)，可得f(1)的值为a + b。
5. 已知f(x) = (ax^2 + bx + c) / (x^2 + x + 1)，其中a，b，c为常数且a ≠ 0。若f(x)取得最小值为3，则a + b + c的值为多少？
解析：要求a + b + c的值，我们需要确定f(x)的最小值为3时，系数a，b，c的关系。将f(x)取得最小值为3代入，可得(3 * (x^2 + x + 1) = ax^2 + bx + c。化简得2x^2 + 2x - 2 = ax^2 + bx + c。整理得(a - 2)x^2 + (b - 2)x + (c + 2) = 0。
根据二次函数的性质可知，当二次函数的系数满足a > 0且a - 2 = 0时，函数的最小值为3。所以，a = 2。将a = 2代入(a - 2)x^2 + (b - 2)x + (c + 2) = 0，可得2x^2 + (b - 2)x + (c + 2) = 0。和原式进行比较得b - 2 = 2，所以b = 4。同理，c + 2 = -2，所以c = -4。所以，a + b + c的值为2 + 4 - 4 = 2。